🧠 嵌入式控制笔记：PID 控制算法与控制量 u(t) / u[k] 解析（WP Githuber MD 版）

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一、PID 控制简介

PID（Proportional–Integral–Derivative）控制器 是最常用的反馈控制算法之一，广泛用于嵌入式控制系统中：

• 电机转速控制
• 温度控制
• 压力 / 流量控制
• 伺服控制系统

核心思想：
根据 目标值 与 系统输出值 之间的误差，通过比例（P）、积分（I）、微分（D）三项调节，使输出逐步逼近目标。

核心结论:

PID 不直接控制目标状态（温度 / 水位），
而是计算“应该施加多大的控制作用”。

以温度控制示例（加热系统）

1. 变量对应关系

名称	符号	含义
设定值	SP	目标温度
被控量	PV	实际温度
误差	e	e = SP - PV
控制输出	u	加热功率 / PWM 占空比

2. 物理因果链

PWM 占空比->加热功率->热量输入->温度变化（PV）

3. 控制流程
   读取温度
   计算误差 e
   PID 计算输出 u
   u → PWM
   温度随时间变化

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二、系统误差与控制量定义

系统误差定义为：

行内公式：e(t) = r(t) - y(t)

其中：

• r(t)：目标值（设定值）
• y(t)：系统输出（测量值）
• e(t)：误差（偏差量）

PID 控制器输出（控制量）为：

u(t) = K_p \cdot e(t) + K_i \cdot \int e(t)\,dt + K_d \cdot \frac{de(t)}{dt}

其中：

参数	含义
K_p	比例系数（Proportional Gain）
K_i	积分系数（Integral Gain）
K_d	微分系数（Derivative Gain）

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三、各部分作用与直观理解

名称	公式	作用	直观理解	缺点
P（比例）	U_P = K_p \cdot e	按误差比例输出，误差越大，输出越大	“踩油门力度正比于偏差”	稳态误差存在
I（积分）	U_I = K_i \cdot \int e\,dt	消除稳态误差	“记住过去的所有偏差，慢慢补”	易引起超调
D（微分）	U_D = K_d \cdot \frac{de}{dt}	根据误差变化率修正，抑制超调、震荡	“预判趋势，提前刹车”	对噪声敏感

关键：在嵌入式实现中，积分和微分都需要离散化，即用采样方式近似计算，积分用累加，微分用前后两次误差差，采样周期 T_s 必须固定。

四、控制量 u(t) / u[k] 的物理意义

在 PID 控制器中：

• u(t)（连续时间）或 u[k]（离散时间）
  → 控制器的输出信号，即“控制量”。

控制量的作用：
用于驱动执行机构，直接影响被控对象的输入。

应用场景	控制量 u(t) / u[k] 含义
电机转速控制	PWM 占空比（控制电压）
温度控制	加热功率或继电器占空比
压力 / 流量控制	阀门开度（0–100%）
伺服控制	电流或位置指令信号

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📊 控制系统信号流向

     ┌──────────────┐
 r → │   PID控制器    │ → u → │ 被控对象（执行机构） │ → y
     └──────────────┘        └──────────────────┘
           ↑____________________________________|
                        反馈回路

• r(t)：目标输入（期望值）
• y(t)：系统输出（传感器反馈）
• e(t)：误差信号
• u(t)：控制器输出，用来“调节”系统

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五、离散化 PID（嵌入式常用形式）

在实际嵌入式系统中，信号是离散采样的。
令采样周期为 T，第 k 次采样时刻：

行内公式：e[k] = r[k] - y[k]

位置式 PID：

u[k] = K_p \cdot e[k] + K_i \cdot \sum_{i=0}^{k} e[i] \cdot T + K_d \cdot \frac{e[k] - e[k-1]}{T}

增量式 PID：

\Delta u[k] = K_p \cdot [e[k] - e[k-1]] + K_i \cdot e[k] \cdot T + K_d \cdot \frac{e[k] - 2e[k-1] + e[k-2]}{T}

u[k] = u[k-1] + \Delta u[k]

增量式 PID 优点：抗干扰性强、积分饱和风险低、适合数字控制器实现。

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六、C 语言实现（位置式 PID）

typedef struct {
    float Kp;
    float Ki;
    float Kd;
    float setpoint;   // 目标值
    float integral;   // 积分累加
    float prev_error; // 上一次误差
} PID_t;

void PID_Init(PID_t *pid, float kp, float ki, float kd, float setpoint) {
    pid->Kp = kp;
    pid->Ki = ki;
    pid->Kd = kd;
    pid->setpoint = setpoint;
    pid->integral = 0.0f;
    pid->prev_error = 0.0f;
}

float PID_Compute(PID_t *pid, float feedback, float dt) {
    float error = pid->setpoint - feedback;
    pid->integral += error * dt;
    float derivative = (error - pid->prev_error) / dt;
    float output = pid->Kp * error + pid->Ki * pid->integral + pid->Kd * derivative;
    pid->prev_error = error;
    return output;
}

Python

class PID:
    """
    PID控制器
    - P(比例): 误差越大，输出越大，响应快但可能超调
    - I(积分): 累积误差，消除稳态误差，但可能引起震荡
    - D(微分): 预测误差变化，抑制超调，但对噪声敏感
    """
    def __init__(self, kp, ki, kd):
        self.kp = kp  # 比例系数
        self.ki = ki  # 积分系数
        self.kd = kd  # 微分系数
        self.integral = 0      # 误差积分累积
        self.prev_error = 0    # 上一次误差(用于微分)

    def compute(self, target, current, dt):
        error = target - current                    # 当前误差
        self.integral += error * dt                 # 积分累加
        derivative = (error - self.prev_error) / dt # 误差变化率
        self.prev_error = error
        # 输出 = P项 + I项 + D项
        return self.kp * error + self.ki * self.integral + self.kd * derivative

pid = PID(kp=1.0, ki=0.1, kd=0.05)  # 参数先随便给
target_rps = 1.0  # 目标转速

while True:
    time.sleep(dt)
    # ... 你原来的编码器读取代码 ...
    current_rps = pulses_to_rps(filtered_speed * dt, dt)

    output = pid.compute(target_rps, current_rps, dt)
    motor.set_pwm(output)  # 输出给电机

七、实际应用：直流电机转速控制

目标： 保持电机转速 r[k] = 1000\,\text{RPM}

控制流程：

1. 从编码器获取当前转速 y[k]
2. 计算误差 e[k] = r[k] - y[k]
3. 用 PID 算法计算控制量 u[k]
4. 将 u[k] 转换为 PWM 占空比并输出
5. 形成闭环控制

伪代码：

float target_speed = 1000.0f;
float current_speed = get_speed_sensor();
float dt = 0.01f;

float pwm = PID_Compute(&pid, current_speed, dt);
set_motor_pwm(pwm);  // 控制输出 u[k]

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八、PID 参数整定方法

方法	特点
经验法	手动调参，简单直观
Ziegler–Nichols 法	工程常用，通过振荡求参数
临界比例法	找到系统振荡点后换算 PID 参数
自动调参（MATLAB）	适合仿真和快速设计

调参顺序建议：

1. 调 K_p → 控制响应速度
2. 调 K_i → 消除稳态误差
3. 调 K_d → 抑制超调与振荡

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九、控制模式对比

控制类型	优点	缺点	适用场景
P 控制	结构简单、响应快	稳态误差存在	简单系统
PI 控制	消除稳态误差	易超调	稳定对象
PID 控制	响应快、精度高	参数调节复杂	高精度系统

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🔚 十、总结

• u(t) / u[k] 是 PID 控制器的输出（控制量）。
• 它用于驱动执行机构（PWM、电压、电流、阀门开度等）。
• 连续系统 用 u(t)，离散系统 用 u[k]。
• PID 控制的本质是对误差的比例、积分、微分调节，使系统输出逐渐逼近目标值。
• 在嵌入式系统中，PID 控制通常以离散形式实现，通过周期采样和 PWM 输出形成闭环控制。