周期信号的傅里叶级数表示方式

周期信号的傅里叶级数并不是只有一种写法，常见 三种等价表示方式：

1. 三角形式（正弦 + 余弦）
2. 指数形式（复指数）
3. 幅度相位形式（单正弦）

它们完全等价，只是形式不同，适用于不同的分析场景。

一、三角形式（最经典、最直观）

把信号分解成“余弦 + 正弦”的组合。

行间公式如下：

x(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n \cos(n\omega_0 t) + b_n \sin(n\omega_0 t) \right]

• a_0：直流分量（平均值）
• a_n、b_n：余弦分量的幅度、正弦分量的幅度
• \omega_0 = 2\pi / T：基频角频率

角频率描述信号“转得有多快”，单位是 弧度/秒。\omega_0 = \frac{2\pi}{T}
在傅里叶级数、傅里叶变换里，经常写成：e^{j\omega t}
角频率就是频率乘以 2π，是“用弧度描述的频率”，为了方便在复指数 e^{j\omega t} 中使用。因为指数形式的复数旋转需要用弧度，弧度是数学上自然单位，所以角频率更方便、更统一。

1. 直流分量（平均值）a_0

a_0 = \frac{1}{T} \int_{t_0}^{t_0 + T} x(t) \, dt

含义：一个周期的平均值。

2. 余弦系数 a_n

a_n = \frac{2}{T} \int_{t_0}^{t_0 + T} x(t) \cos(n\omega_0 t) \, dt

3. 正弦系数 b_n

b_n = \frac{2}{T} \int_{t_0}^{t_0 + T} x(t) \sin(n\omega_0 t) \, dt

特点：

• 系数全为实数
• 适合工程直觉，但计算时有两套系数（a_n,b_n ）

二、指数形式（复数形式，工程最常用）

利用欧拉公式：
\cos\theta = \frac{e^{j\theta} + e^{-j\theta}}{2}
\sin\theta = \frac{e^{j\theta} - e^{-j\theta}}{2j}

可得：

x(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n e^{jn\omega_0 t}

特点：

• 只有一个复系数 C_n（非常方便）
• 谱具有共轭对称性（若 x(t) 为实信号）

C_n 与 a_n,b_n 的关系是：

C_n = \frac{1}{2}(a_n - jb_n), \quad 
C_{-n} = \frac{1}{2}(a_n + jb_n)

指数形式是频谱分析里最常见的一种。

三、幅度-相位形式（振幅 + 相位）

由于：

a_n \cos(n\omega_0 t) + b_n \sin(n\omega_0 t)

可以合成一个单独的余弦：

x(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} A_n \cos(n\omega_0 t + \varphi_n)

其中：

A_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2}

\varphi_n = \tan^{-1}\left( -\frac{b_n}{a_n} \right)

特点：

• 表达形式最紧凑
• 物理意义最直观（幅度谱 + 相位谱）

📌 三种形式的对比总结

📚 最终结论

周期信号的傅里叶级数有三种完全等价的表示方式：

• 三角形式：cos + sin
• 指数形式：e^{j n ω₀ t}
• 幅度相位形式：单一余弦叠加

三角 → 指数 → 幅度相位
就像把同一首歌分别保存为 wav、mp3、flac 三种格式一样，只是“表示方法”不同，本质完全相同。